Question

在正方體AC₁中，E是CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接BE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FG．
求證：直線FG?平面ABCD且直線FG∥直線A₁B₁．

Answer 1

【答案】分析：分別說(shuō)明點(diǎn)F與點(diǎn)G在平面ABCD內(nèi)，結(jié)合公理一直線上有兩點(diǎn)在平面內(nèi)則這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)，易證四邊形CFGD是平行四邊形，結(jié)合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，即可求出直線FG∥直線A₁B₁．
解答：證明：由已知得E是CD的中點(diǎn)，
在正方體中，有A∈平面ABCD，
E∈平面ABCD，
所以AE?平面ABCD．
又AE∩BC=F，所以F∈AE，
從而F∈平面ABCD．
同理，G∈平面ABCD，
所以FG?平面ABCD．
因?yàn)镋CAB，故在Rt△FBA中，CF=BC，
同理，DG=AD．又在正方形ABCD中，BCAD，
所以CFDG．
所以四邊形CFGD是平行四邊形．
所以FG∥CD．又CD∥AB，AB∥A₁B₁，
所以直線FG∥直線A₁B₁．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，以及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．