Question

已知函數(shù)f(x)=px-

p

x

-lnx，g(x)=lnx-

P

x

(1+

e2-2e

P2

)，其中無(wú)理數(shù)e=2.17828…．
（Ⅰ）若P=0，求證：f（x）＞1-x；
（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求P的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)P，是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合條件的一個(gè)x₀；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若P=0，要證f（x）＞1-x；即可轉(zhuǎn)化為lnx-x+1＞0在定義域內(nèi)恒成立即可．在通過(guò)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，看函數(shù)的最小值，只要函數(shù)的最小值大于0即可．
（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求P的取值范圍；先要明確定義域；在求導(dǎo)，求導(dǎo)后，只要滿足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可．在這里要注意對(duì)參數(shù)p進(jìn)行討論．
（Ⅲ）對(duì)于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)P，是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立，這種題型屬探索性問(wèn)題；解決的關(guān)鍵在于弄懂題意．據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為：令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+

e2-2e

px

，則問(wèn)題等價(jià)于找一個(gè)x₀＞0使F（x）≤0成立，
故只需滿足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：當(dāng)p=0時(shí)，f（x）=-lnx．
令m（x）=lnx-x+1，則m′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
若0＜x＜1，m′（x）＞0，m（x）遞增；
若x＞1，m′（x）＜0，m（x）遞減，
則x=1是m（x）的極（最）大值點(diǎn)．
于是m（x）≤m（1）=0，即lnx-x+1≤0．
故當(dāng)p=0時(shí)，有f（x）≥1-x；（4分）
（Ⅱ）解：對(duì)f(x)=px-

p

x

-lnx求導(dǎo)，
得f′(x)=p+

p

x2

-

1

x

=

px2-x+p

x2

．
①若p=0，f′(x)=-

1

x

＜0，
則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故p=0合題意．
②若p＞0，h(x)=px2-x+p=p(x-

1

2p

)2+p-

1

4p

≥p-

1

4p

．
則必須p-

1

4p

≥0，f′(x)≥0，
故當(dāng)p≥

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③若p＜0，h（x）的對(duì)稱軸x=

1

2p

＜0，
則必須h（0）≤0，f′（x）≤0，
故當(dāng)p＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
綜合上述，p的取值范圍是(-∞，0]∪[

1

2

，+∞)；
（Ⅲ）解：令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+

e2-2e

px

．
則問(wèn)題等價(jià)于找一個(gè)x₀＞0使F（x）≤0成立，
故只需滿足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．
因F′(x)=p-

2

x

-

e2-2e

px2

=

(px-e)(px-2+e)

px2

=

p

x2

(x-

e

p

)(x-

2-e

p

)，
而x＞0，1＜p＜2，

e

p

＞

2

p

＞0，

2-e

p

＜0，
故當(dāng)0＜x＜

e

p

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
當(dāng)x＞

e

p

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
于是，F(x)min=F(

e

p

)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4＞0．
與上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合條件的x₀．

點(diǎn)評(píng)：（1）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；先要明確定義域；在求導(dǎo)，求導(dǎo)后，只要滿足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可．這是通性通法．
（2）對(duì)于區(qū)間任意給定的某區(qū)間，某代數(shù)式恒成立問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于弄懂題意．據(jù)題意一般可可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，求滿足函數(shù)的最小值或者函數(shù)的最大值即可．