【題目】【2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓: 的左頂點為,上頂點為,直線與直線垂直,垂足為點,且點是線段的中點.
(I)求橢圓的方程;
(II)如圖,若直線: 與橢圓交于, 兩點,點在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.
【答案】(I);(II)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可得, 故斜率為,由直線與直線垂直,可得,因為點是線段的中點,∴點的坐標(biāo)是,
代入直線得,連立方程即可得, ;(2)∵四邊形為平行四邊形,∴,設(shè), , ,∴ ,得,將點坐標(biāo)代入橢圓方程得,
點到直線的距離為,利用弦長公式得EF,則平行四邊形的面積為
.
解析:(1)由題意知,橢圓的左頂點,上頂點,直線的斜率,
得,
因為點是線段的中點,∴點的坐標(biāo)是,
由點在直線上,∴,且,
解得, ,
∴橢圓的方程為.
(2)設(shè), , ,
將代入消去并整理得 ,
則, ,
,
∵四邊形為平行四邊形,∴ ,
得,將點坐標(biāo)代入橢圓方程得,
點到直線的距離為, ,
∴平行四邊形的面積為
.
故平行四邊形的面積為定值.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,求證:函數(shù)有兩個不相等的零點, ,且.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】試題分析:(1)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間即解導(dǎo)數(shù)大于零求得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于零求得減區(qū)間(2)函數(shù)有兩個不同的零點,先分析函數(shù)單調(diào)性得零點所在的區(qū)間, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∵, , ,∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).
不妨設(shè), ,要證,即證, 在上是增函數(shù),故,且,即證. 由,得 ,
令 , ,得在上單調(diào)遞減,∴,且∴, ,∴,即∴,故得證
解析:(1)當(dāng)時, ,得,
令,得或.
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞減;
所以在, 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)證明:由題意得,其中,
由得,由得,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
∵, , ,
∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).
不妨設(shè), ,
要證,即證,
因為,且在上是增函數(shù),
所以,且,即證.
由,得 ,
令 , ,
則 .
∵,∴, ,
∴時, ,即在上單調(diào)遞減,
∴,且∴, ,
∴,即∴,故得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),五邊形中, .如圖(2),將沿折到的位置,得到四棱錐.點為線段的中點,且平面.
(1)求證:平面平面;
(2)若直線與所成角的正切值為,設(shè),求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小店每天以每份5元的價格從食品廠購進若干份食品,然后以每份10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的食品還可以每份1元的價格退回食品廠處理.
(Ⅰ)若小店一天購進16份,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:份,)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量(單位:份),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)小店一天購進16份這種食品,表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(ii)以小店當(dāng)天利潤的期望值為決策依據(jù),你認(rèn)為一天應(yīng)購進食品16份還是17份?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖四棱錐中, 平面,底面是梯形, , , , , , 為的中點, 為上一點,且().
(1)若時,求證: 平面;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求異面直線與直線所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且直線與曲線交于兩點.
(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)把直線與軸的交點記為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國政府實施“互聯(lián)網(wǎng)+”戰(zhàn)略以來,手機作為客戶端越來越為人們所青睞,通過手機實現(xiàn)衣食住行消費已經(jīng)成為一種主要的消費方式,“一機在手,走遍天下”的時代已經(jīng)到來。在某著名的夜市,隨機調(diào)查了100名顧客購物時使用手機支付的情況,得到如下的列聯(lián)表,已知其中從使用手機支付的人群中隨機抽取1人,抽到青年的概率為.
(1)根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并根據(jù)此資料判斷是否有的把握認(rèn)為“市場購物用手機支付與年齡有關(guān)”?
(2)現(xiàn)采用分層抽樣從這100名顧客中按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”中抽取得到一個容量為5的樣本,設(shè)事件為“從這個樣本中任選2人,這2人中至少有1人是不使用手機支付的”,求事件發(fā)生的概率?
列聯(lián)表
青年 | 中老年 | 合計 | |
使用手機支付 | 60 | ||
不使用手機支付 | 24 | ||
合計 | 100 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的倍,且過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若的頂點、在橢圓上, 所在的直線斜率為, 所在的直線斜率為,若,求的最大值.
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