Question

已知拋物線y²=4x，點F是拋物線的焦點，點M在拋物線上，O為坐標原點．
（1）當 

FM

•

OM

=4時，求點M的坐標；
（2）求 

| OM |

| FM |

的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出焦點F的坐標，設出點M（x₀，y₀），其中x₀≥0，由 

FM

•

OM

=4，求得x₀，y₀的值，即得點M的坐標．
（2）設點M（x，y），化簡 

| OM |

| FM |

的 解析式為

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

，設 t=

1

x+1

(0＜t≤1)，

| OM |

| FM |

=

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

，利用二次函數(shù)的性質求得其最大值．

解答：解：（1）拋物線y²=4x的焦點F的坐標是 （1，0），設點M（x₀，y₀），其中x₀≥0．
因為 

FM

=(x0-1，y0)，

OM

=(x0，y0)，所以，

FM

•

OM

=x0(x0-1)+

y

2 0

=

x

2 0

+3x0=4，
解得 x₀=1，或 x₀=-4（舍）． 因為 y₀²=4x₀，所以，y₀=±2，即點M的坐標為（1，2），（1，-2）．
（2）設點M（x，y），其中x≥0，

| OM |

| FM |

  =  

x2+y2

(x-1)2+y2

  =  

x2+4x (x+1)2

  =  

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

．
設 t=

1

x+1

(0＜t≤1)，則 

| OM |

| FM |

  =  

-3t2+2t+1

  =  

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

．
因為 0＜t≤1，所以，當 t=

1

3

（即x=2）時，

| OM |

| FM |

取得最大值

2 3

3

．

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數(shù)量積公式、向量的模的定義，