Question

已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接利用已知條件列出方程，求出數(shù)列的首項(xiàng)，然后求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用{a_n}的通項(xiàng)公式，化簡b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），通過裂項(xiàng)法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比數(shù)列，a₃=a₁+5，a₇=a₁+13
所以由(a3+1)2=（a₁+1）•（a₇+1）…（3分）
得(a1+5)2=（a₁+1）•（a₁+13）
解之得a₁=3，所以a_n=3+2（n-1），即a_n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）由（1）得a_n=2n+1，
bn=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)…（9分）
Tn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和的方法裂項(xiàng)法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．