已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸長為2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從定點M（0，2）任作直線l與橢圓C交于兩個不同的點A、B，記線段AB的中點為P，試求點P的軌跡方程．
（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸長為2
3
，
∴
c
a
=
1
2
2b=2
3
a2=b2+c2
，解得a=2，b=
3
，
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）設P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
若直線l與x軸垂直，則P（0，0）；
若直線l與x軸不垂直，設直線l的方程為y=kx+2，k≠0．
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+2
，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，…①
則
2x=x1+x2=
-16k
3+4k2
y=kx+2
，將其消去k，得
3x2
4
+(y-1)2=1，
由①中△=（-16k）2-16（3+4k2）＞0，解得k2＞
1
4
，
則x=
-8k
3+4k2
=
-8
4k+
3
k
∈[-
2
3
3
，0）∪（0，
2
3
3
]，y=
-8k2
3+4k2
+2=
6
3+4k2
∈（0，
3
2
）．
綜上，所求點P的軌跡方程為
3x2
4
+(y-1)2=1．y∈[0，
3
2
）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為
l1，l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B（如圖）．
（1）當l1與l2的夾角為60°，且△POF的面積為
3
2
時，求橢圓C的方程；
（2）當
FA
=λ
AP
時，求當λ取到最大值時橢圓的離心率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1．
（1）過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：x2+
y2
2
=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關于對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線l過x軸上的點M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）若M的坐標為（2，0），當OA⊥OB時，求直線l的方程；
（2）若M的坐標為（1，0），設直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+2與曲線y=
x2-1
，|x|＞1
1-x2
，|x|≤1
恰有兩個不同的交點，則k∈______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求與雙曲線C1有相同焦點，且過點P（4，
3
）的雙曲線C2的標準方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A、B兩點．當
OA
•
OB
=3時，求實數(shù)m的值．

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