Question

數(shù)列{a_n} 滿(mǎn)足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1-cos²）a_n+2sin²，n=1，2，3…
（1）求a₃，a₄及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，求S_2n．

Answer 1

【答案】分析：（1）在a_n+2的表達(dá)式中令n=1直接計(jì)算即得a₃，令n=2求出a₄，對(duì)n分奇偶數(shù)分類(lèi)求解，再考查通項(xiàng)公式．
（2）利用分組求和法計(jì)算求和．
解答：解：（1）
=
一般地，
=a_2n-1+2
即a_2n-1-a_2n-1=2
即數(shù)列{a_2n-1}是以a₁=1，公差為2的等差數(shù)列．∴a_2n-1=2n-1
又=a_2n
即數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為a₂=2，公比為的等比數(shù)列
∴=
綜上可得
（2）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…a_2n）
=[1+3+…+（2n-1）]+[2++…]
=
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)公式、數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和．考查分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化的思想方法及分析解決問(wèn)題、計(jì)算的能力．