已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足
a
 
1
=P(0＜P＜1)，且
a
 
n+1
=
a
 
n
a
 
n
+1
，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)an；
（2）求證：
a
 
1
2
+
a
 
2
3
+
a
 
3
4
+…+
a
 
n
n+1
＜1．
分析：（1）由已知an+1=
an
an+1
可得，
1
an+1
=
an+1
an
=
1
an
+1，
1
a1
=
1
p
即
1
an+1
-
1
an
=1
數(shù)列{
1
an
}是以
1
p
為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，從而可求
（2）由（1）可得an=
1
n-1+
1
p
結(jié)合0＜P＜1可得
an
n+1
=
1
(n+1)(n-1+
1
p
)
＜
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，利用裂項(xiàng)求和可證
解答：解：由已知an+1=
an
an+1
可得，
1
an+1
=
an+1
an
=
1
an
+1，
1
a1
=
1
p

即
1
an+1
-
1
an
=1
數(shù)列{
1
an
}是以
1
p
為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
∴
1
an
=
1
p
+(n-1)×1=n-1+
1
p
即an=
1
n-1+
1
p

∵0＜P＜1∴
1
p
-1＞0
∴
an
n+1
=
1
(n+1)(n-1+
1
p
)
＜
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

a1
2
+
a2
3
+…+ 
an
n+1
 ＜1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
＜1即證
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和是證明（2）的關(guān)鍵，解題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)通項(xiàng)中
an
n+1
=
1
(n+1)(n-1+
1
p
)
＜
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　�。�
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2，點(diǎn)(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對(duì)?n∈N+恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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