Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁為

x=acosφ y=sinφ

（1＜a＜6，φ為參數(shù)）．在以O(shè)為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，射線為θ=α，與C₁的交點(diǎn)為A，與C₂除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)α=0時(shí)，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)C₁與y軸正半軸交點(diǎn)為D，當(dāng)a=

π

4

時(shí)，設(shè)直線BD與曲線C₁的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求|BD|+|BE|．

Answer 1

分析：（1）直接把極坐標(biāo)方程中兩邊同時(shí)乘以ρ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式消掉φ把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后把直線方程和兩曲線方程聯(lián)立后由|AB|=4求出a，則直角坐標(biāo)方程可求；
（2）求出B和D的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線BD的參數(shù)方程，和曲線C₁ 聯(lián)立后利用參數(shù)的幾何意義求解|BD|+|BE|．

解答：解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ²=6ρcosφ，所以C₂的直角坐標(biāo)方程是x²+y²-6x=0
由已知得C₁ 的直角坐標(biāo)方程是

x2

a2

+y2=1，
當(dāng)α=0時(shí)射線與曲線C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（a，0），（6，0），
∵|AB|=4，∴a=2，C₁ 的直角坐標(biāo)方程是

x2

4

+y2=1①
（2）聯(lián)立x²+y²-6x=0與y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是極點(diǎn)，∴B（3，3）．
又可得D（1，0），∴kBD=

3

2

，∴BD的參數(shù)方程為

x=3+ 2 13 t y=3+ 3 13 t

（t為參數(shù)）②
將②帶入①得

25

13

t2+

66

13

t+41=0，設(shè)D，E點(diǎn)的參數(shù)是t₁，t₂，則
t1+t2=

-66 13

25

，t1t2=

533

25

，|BD|+|BE|=|t1+t2|=

66 13

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的理解是解答該題的關(guān)鍵．