Question

（2013•順義區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=2^x+1-2的圖象上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=0，b_n+1+b_n=a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和公式；
（III）在第（II）問的條件下，若對(duì)于任意的n∈N^*不等式b_n＜λb_n+1恒成立，求實(shí)數(shù)h(-1)=-

1

3

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可知Sn=2n+1-2，分當(dāng)n=1，和n≥2兩種情況，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）可得bn+1+bn=2n，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，由累加的方法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得答案；
（III）由（II）可知bn=

2n 3 + 2 3 (n為偶數(shù)) 2n 3 - 2 3 (n為奇數(shù))

，分當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)，考慮數(shù)列的單調(diào)性，可得

bn

bn+1

的最大值是1，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答：解：（I）由題意可知，Sn=2n+1-2．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=21+1-2=2也滿足上式，
所以an=2n(n∈N*)．…（3分）
（II）由（I）可知bn+1+bn=2n(n∈N*)，即bk+1+bk=2k(k∈N*)．
當(dāng)k=1時(shí)，b2+b1=21，…①
當(dāng)k=2時(shí)，b3+b2=22，所以-b3-b2=-22，…②
當(dāng)k=3時(shí)，b4+b3=23，…③
當(dāng)k=4時(shí)，b5+b4=24，所以-b5-b4=-24，…④
…
…
當(dāng)k=n-1時(shí)（n為偶數(shù)），bn+bn-1=2n-1，所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1
以上n-1個(gè)式子相加，得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1
=

2[1-(-2)n-1]

1-(-2)

=

2(1+2n-1)

3

=

2n

3

+

2

3

，又b₁=0，
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn=

2n

3

+

2

3

．
同理，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1
=

2[1-(-2)n-1]

1-(-2)

=

2-2n

3

，
所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=

2n

3

-

2

3

．…（6分）
因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(

2

3

-

2

3

)+(

22

3

+

2

3

)+(

23

3

-

2

3

)+(

24

3

+

2

3

)+…+(

2n

3

+

2

3

)
=

2

3

+

22

3

+…+

2n

3

=

1

3

•

2(1-2n)

1-2

=

2n+1

3

-

2

3

；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=(

2

3

-

2

3

)+(

22

3

+

2

3

)+…+(

2n-1

3

+

2

3

)+(

2n

3

-

2

3

)
=(

2

3

+

22

3

+…+

2n

3

)-

2

3

=

2n+1

3

-

4

3

．
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=

2n+1 3 - 2 3 (n為偶數(shù)) 2n+1 3 - 4 3 (n為奇數(shù))

．…（8分）
（III）由（II）可知bn=

2n 3 + 2 3 (n為偶數(shù)) 2n 3 - 2 3 (n為奇數(shù))

，
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

bn

bn+1

=

2n 3 + 2 3

2n+1 3 - 2 3

=

2n+2

2n+1-2

=

1

2

+

3

2n+1+2

，
所以

bn

bn+1

隨n的增大而減小，
從而，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

bn

bn+1

的最大值是

b2

b3

=1．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

bn

bn+1

=

2n 3 - 2 3

2n+1 3 + 2 3

=

2n-2

2n+1+2

=

1

2

-

3

2n+1+2

，
所以

bn

bn+1

隨n的增大而增大，且

bn

bn+1

=

1

2

-

3

2n+1+2

＜

1

2

＜1．
綜上，

bn

bn+1

的最大值是1．
因此，若對(duì)于任意的n∈N*，不等式b_n＜λb_n+1恒成立，只需λ＞1，
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（1，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列等比數(shù)列，以及分類討論的思想，屬中檔題．