Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-bx²+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）過點（3，0），且在點（3，0）處的切線的斜率等于4，y=f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g（x）=x

f′(x)

，m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=f′（x）+（2x+1）t，若h（x）＜4對t∈[0，1]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，f′（2-x）=f′（x），可得f′（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求出b，再利用f（3）=0，f′（3）=4，求出c，d，即可求f（x）；
（2）g（x）=x

f′(x)

=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1

，作出函數(shù)的圖象，即可求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）h（x）=f′（x）+（2x+1）t=（x-1）²+（2x+1）t，當(dāng)t∈[0，1]時，h（x）＜4等價于g（t）=（2x+1）t+（x-1）²-4＜0，只要

g(0)＜0 g(1)＜0

，即可求實數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：（1）求導(dǎo)可得f′（x）=x²-2bx+c     …1分
∵f′（2-x）=f′（x），∴f′（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴b=1 …2分
又由已知有：f（3）=0，f′（3）=4，
∴c=1，d=-3  …4分
∴f（x）=

1

3

x³-x²+x-3                …5分
（2）f′（x）=x²-2x+1，
g（x）=x

f′(x)

=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1

     …7分
其圖象如圖所示．
當(dāng)x²-x=

1

4

時，x=

1± 2

2

，根據(jù)圖象得：
（�。┊�(dāng)0＜m＜

1

2

時，g（x）最大值為m-m²；
（ⅱ）當(dāng)

1

2

＜m≤

1+ 2

2

時，g（x）最大值為

1

4

；
（ⅲ）當(dāng)m＞

1+ 2

2

時，g（x）最大值為m²-m．    …10分
（3）h（x）=f′（x）+（2x+1）t=（x-1）²+（2x+1）t，
記g（t）=（2x+1）t+（x-1）²-4，有     …11分
當(dāng)t∈[0，1]時，h（x）＜4等價于g（t）=（2x+1）t+（x-1）²-4＜0，
∴只要

g(0)＜0 g(1)＜0

，即

(x-1)2-4＜0 2x+1+(x-1)2-4＜0

，
∴-1＜x＜

2

，
∴實數(shù)x的取值范圍為-1＜x＜

2

，…14分．

點評：本題考查求實數(shù)x的取值范圍，考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．