Question

已知橢圓：中，F(xiàn)₁、F₂分科技別為左、右焦點(diǎn)，過F₂作橢圓的弦AB．
（1）求證：為定值；
（2）求△F₁AB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意a²=5，b²=1，可得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．若AB斜率存在，設(shè)直線AB：y=k（x-2）與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而可表示，化簡(jiǎn)可知為定值．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，也成立，從而得證．
（2）設(shè)AB傾斜角為θ，進(jìn)而可得．根據(jù)0＜θ＜π，可得sinθ＞0，從而可求△F₁AB面積的最大值．
解答：（1）證明：∵a²=5，b²=1
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
若AB斜率存在，設(shè)直線AB：y=k（x-2）
由
設(shè)
∵
∴為定值．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，也成立．
∴=定值．
（2）解：設(shè)AB傾斜角為θ

設(shè)F₁到AB距離為d．則d=2•csinθ=4sinθ．
∴．
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)，即θ=30°或150°，△F₁AB面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查面積最值的求解，屬于中檔題．