Question

已知f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）若不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0對任意t∈[1，3]都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法令log_ax=t，則x=a^t，代入f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，由f（-x）=-f（x）證明函數(shù)為奇函數(shù)，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)恒大于0可得f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)；
（3）由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性把f（3t²-1）+f（4t-k）＞0對任意t∈[1，3]都成立轉(zhuǎn)化為3t²-1＞-4t+k對任意t∈[1，3]都成立，即3t²+4t-1＞k對任意t∈[1，3]都成立，求出3t²+4t-1在[1，3]上的最小值可得k的取值范圍．

解答： 解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，
由f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

），得f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，
（2）∵定義域?yàn)镽，且f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
∵f′（x）=

a

a2-1

(axlna+a-xlna)=

a•lna

a2-1

(ax+a-x)，
當(dāng)0＜a＜1及a＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)；
（3）f（3t²-1）+f（4t-k）＞0對任意t∈[1，3]都成立，
即f（3t²-1）＞-f（4t-k）對任意t∈[1，3]都成立，
也就是f（3t²-1）＞f（-4t+k）對任意t∈[1，3]都成立，
即3t²-1＞-4t+k對任意t∈[1，3]都成立，
即3t²+4t-1＞k對任意t∈[1，3]都成立，
∵3t2+4t-1=3(t2+

4

3

t)-1=3(t+

2

3

)2-

7

3

在t∈[1，3]上的最小值為

18

3

．
∴k＜

18

3

．
則k的取值范圍是（-∞，

18

3

）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的形狀，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了二次函數(shù)的最值得求法，是中檔題．