Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-2x
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若過點（1，a）可作三條直線與曲線y=f（x）相切，求a范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x）=3x²-2，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，解不等式，從而f（x）在（-∞，-

6

3

），（

6

3

，+∞）遞增，在（-

6

3

，

6

3

）遞減；
（2））因f′（x）=3x²-2，設(shè)切點（k，k³-2k），從而斜率K=3k²-2，求出a=-2k³+3k²-2，只需滿足y=a和y=-2k³+3k²-2有3個解得即可，畫出函數(shù)y=-2k³+3k²-2的圖象，一目了然．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-2，
令f′（x）＞0，解得：x＞

6

3

，或x＜-

6

3

，
令f′（x）＜0，解得：-

6

3

＜x＜

6

3

；
∴f（x）在（-∞，-

6

3

），（

6

3

，+∞）遞增，在（-

6

3

，

6

3

）遞減；
（2））∵f′（x）=3x²-2，設(shè)切點（k，k³-2k），
∴斜率K=3k²-2，
∴a=-2k³+3k²-2，
∴只需滿足y=a和y=-2k³+3k²-2有3個解得即可，
畫出函數(shù)y=-2k³+3k²-2的圖象，
如圖示：
∴-2＜a＜-1．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．