Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是F（2，0），且兩條準(zhǔn)線間的距離為λ（λ＞4）．
（I）求橢圓的方程；
（II）若存在過點(diǎn)A（1，0）的直線l，使點(diǎn)F關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓上，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設(shè)出橢圓的方程，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c，根據(jù)兩條準(zhǔn)線間的距離為λ求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．
（II）依題意，直線l的斜率存在且不為0，記為k，則直線l的方程是y=k（x-1）．設(shè)點(diǎn)F（2，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為F'（x，y），把F和F'的中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程求得x和y的表達(dá)式，代入橢圓方程可到關(guān)于k的方程，根據(jù)判別式大于等于0和方程對稱軸大于0求得λ的取值范圍．
解答：解：（I）設(shè)橢圓的方程為
由條件知c=2，且，所以a²=λ，b²=a²-c²=λ-4．
故橢圓的方程是
（II）依題意，直線l的斜率存在且不為0，記為k，則直線l的方程是y=k（x-1）．
設(shè)點(diǎn)F（2，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為F'（x，y），
則
解得
因?yàn)辄c(diǎn)F'（x，y）在橢圓上，所以
即λ（λ-4）k⁴+2λ（λ-6）k²+（λ-4）²=0．
設(shè)k²=t，則λ（λ-4）t²+2λ（λ-6）t+（λ-4）²=0．
因?yàn)棣耍?，所以
當(dāng)且僅當(dāng)
上述方程存在正實(shí)根，即直線l存在．
解（*）得所以
即λ的取值范圍是
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生對圓錐曲線綜合知識點(diǎn)的掌握．