Question

已知函數(shù)f(x)＝ln(e^x＋a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝λf(x)＋sinx是區(qū)間[－1，1]上的減函數(shù)．

(1)求a的值；

(2)求關(guān)于x的方程＝x²－2ex＋e²＋的根的個(gè)數(shù)；

(3)若g(x)≤t²＋λt＋1在x∈[－1，1]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

[思考流程]方法：(1)利用奇函數(shù)的定義；(2)利用函數(shù)最值的關(guān)系求解；(3)先求g(x)_max，從而得出λ的范圍，再將g(x)≤t²＋λt＋1轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的不等式，最后構(gòu)造函數(shù)h(λ)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解．

解：(1)f(x)＝ln(e^x＋a)是奇函數(shù)，則f(0)＝ln(e⁰＋a)＝0，所以e⁰＋a＝1，

所以a＝0.

(2)由(1)知f(x)＝x，所以方程化為＝x²－2ex＋e²＋.

令f₁(x)＝，f₂(x)＝x²－2ex＋e²＋，

則f′₁(x)＝.

當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′₁(x)>0，所以f₁(x)在區(qū)間(0，e]上為增函數(shù)．

當(dāng)x∈[e，＋∞)，f′₁(x)≤0，所以f₁(x)在區(qū)間[e，＋∞)上為減函數(shù)，

所以當(dāng)x＝e時(shí)，f₁(x)有極大值，即f₁(e)＝，也是最大值．

而f₂(x)＝(x－e)²＋，所以f₂(x)的最小值為f₂(e)＝，

所以方程＝x²－2ex＋e²＋只有一個(gè)根．

(3)因?yàn)?i>g(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，所以g(x)_max＝g(－1)＝－λ－sin1.又g′(x)＝λ＋cosx≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，所以λ≤－1.

所以只需－λ－sin 1≤t²＋λt＋1，

即(t＋1)λ＋t²＋sin 1＋1≥0(其中λ≤－1)恒成立．

令h(λ)＝(t＋1)λ＋t²＋sin 1＋1(λ≤－1)，

則所以

又t²－t＋sin 1≥0恒成立，所以t≤－1.