Question

如圖所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上任意一點，過A作AE⊥PC于

點E，AF⊥PB于點F，求證：

(1)AE⊥平面PBC；

(2)平面PAC⊥平面PBC；

(3)PB⊥EF.

Answer 1

證明：(1)因為AB是⊙O的直徑，

所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

又因為PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.

又BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.

又因為AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.

因為AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.

又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，

所以AE⊥平面PBC.

(2)因為AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBC.

(3)因為AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，

所以AE⊥PB.

又AF⊥PB于點F，且AF∩AE＝A，

所以PB⊥平面AEF.

又因為EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.