已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與C相交于M,N兩點(diǎn)，且A,M,B,N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，求直線l的方程.

（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.

解析試題分析：（1）設(shè)Q（x0，4），代入由中得x0=，在根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，解出p即可
（2）設(shè)直線l的方程為，（m≠0）代入中得，直線的方程為，將上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2), M(x3,y3),N(x4,y4),根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中點(diǎn)為E和AB的中點(diǎn)為D坐標(biāo)的表達(dá)式，計(jì)算的表達(dá)式,根據(jù)求出m即可.
試題解析：（1）設(shè)Q（x0，4），代入由中得x0=，
所以，由題設(shè)得，解得p=－2（舍去）或p=2.
所以C的方程為.
（2）依題意知直線l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線l的方程為，（m≠0）代入中得
，
設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則y1+y2=4m，y1y2=－4，
故AB的中點(diǎn)為D（2m2+1,2m），，
有直線的斜率為－m，所以直線的方程為，將上式代入中，并整理得
.
設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則.
故MN的中點(diǎn)為E（）.
由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上等價(jià)于,從而,即，化簡(jiǎn)得
m2-1=0，解得m=1或m=－1，
所以所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.
考點(diǎn)：1.拋物線的性質(zhì)和方程；2.直線方程以及直線與曲線的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓 的離心率為，過的左焦點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為，在圓上是否存在點(diǎn)，滿足,若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）;若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直線4x－3y－16＝0過橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上．
(1)求m的值及橢圓E的方程；
(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是.
（1）若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長(zhǎng)為，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(－，1)在橢圓上，線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足＋＝0．
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)N(x0，y0)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為.

（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

（1）求雙曲線的離心率；
（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，向量，，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距）時(shí)，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且恰好與直線相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線
（1）求曲線C的方程，
（2）直線l與直線l，垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

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