Question

已知：A（cos2x，sin2x），其中0≤x＜π，B（1，1），

OA

+

OB

=

OC

，f（x）=|

OC

|²．
（1）求f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；  
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（提示：sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

））

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，寫出

OA

，

OB

的坐標(biāo)表示形式，然后，根據(jù)

OA

+

OB

=

OC

，得到函數(shù)解析式，化簡(jiǎn)得到f（x）=3+2

2

sin（2x+

π

4

），然后，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心求解；
（2）直接根據(jù)（1）的函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵A（cos2x，sin2x），
∴

OA

=（cos2x，sin2x），

OB

=（1，1），
∴

OC

=

OA

+

OB

=（1+cos2x，1+sin2x），
∴f（x）=|

OC

|2=（1+cos2x）²+（1+sin2x）²，
=3+2

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的對(duì)稱軸2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴x=

1

2

kπ+

π

8

，k∈Z，
對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足：2x+

π

4

=kπ，k∈Z，
即x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，
∴對(duì)稱中心是（

kπ

2

-

π

8

，3），k∈Z．
（2）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式、輔助角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．