Question

如圖，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁，F(xiàn)₂為焦點，離心率e=的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的交點為P，延長PF₂交拋物線于點Q，M是拋物線C₁上一動點，且M在P與Q之間運動．
（1）當m=1時，求橢圓C₂的方程；
（2）當△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．設橢圓方程為=1（a＞b＞0），由題設條件知c=1，a=2，b²=3，由此可知橢圓C₂方程為=1．
（2）因為c=m，e==，則a=2m，b²=3m²，設橢圓方程為，由，得3x²+16mx-12m²=0，得x_P=代入拋物線方程得P（，），由此得m=3，由此可求出△MPQ面積的最大值．
解答：解：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
設橢圓方程為=1（a＞b＞0），則c=1，又e==，所以a=2，b²=3
所以橢圓C₂方程為=1（4分）
（2）因為c=m，e==，則a=2m，b²=3m²，
設橢圓方程為
由，得3x²+16mx-12m²=0（6分）
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=代入拋物線方程得y_P=m，
即P（，）
|PF₂|=x_P+m=，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-=，|F₁F₂|=2m=，
因為△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，所以m=3（8分）
此時拋物線方程為y²=12x，P（2，2），直線PQ方程為：y=-2（x-3）．
聯(lián)立，得2x²-13x+18=0，即（x-2）（2x-9）=0，
所以x_Q=，代入拋物線方程得y_Q=-3，即Q（，-3）
∴|PQ|==．
設M（，t）到直線PQ的距離為d，t∈（-3，2）
則d==|（t+）²-|（10分）
當t=-時，d_max=•=，
即△MPQ面積的最大值為××=．（12分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．