Question

如圖，設(shè)拋物線c₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂，以F₁、F₂為焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

的橢圓c₂與拋物線c₁在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過(guò)橢圓c₂的右焦點(diǎn)F₂，與拋物線c₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件設(shè)橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R，聯(lián)立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(

2

3

，

2 6

3

)．再由韋達(dá)定理可知點(diǎn)P可在圓內(nèi)，圓上或圓外．
（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)．|PF2| =

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1| =4m-|PF2| =

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．由此可知當(dāng)m=3時(shí)，能使△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)．

解答：解：∵c₁：y²=4mx的右焦點(diǎn)F₂（m，0）
∴橢圓的半焦距c=m，又e=

1

2

，
∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)a=2m，短半軸的長(zhǎng)b=

3

m．
橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，（3分）
（2）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R
聯(lián)立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(

2

3

，

2 6

3

)．
將x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
設(shè)A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又

PA1

=(x1-

2

3

，y1-

2 6

3

)，

PA2

=(x2-

2

3

，y2-

2 6

3

)．

PA1

 •

PA2

=x1x2-

2

3

(x1+x2) +

4

9

+y1y2-

2 6

3

(y1+y2)  +

24

9

=-

24k2+24 6 k+11

9

=-

24(k+ 6 2 )2-25

9

．
∵k∈R，于是

PA1

•

PA2

的值可能小于零，等于零，大于零．
即點(diǎn)P可在圓內(nèi)，圓上或圓外．（8分）
（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，
由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)．
∴|PF2| =

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1| =4m-|PF2| =

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△PF₁F₂的邊長(zhǎng)分別是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∴m=3時(shí)，能使△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．