Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，

2

），且離心率等于

3

2

，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PQ上．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意知b²=2，a²=8，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直線l與y軸重合，則

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=

2- 2

2 -y0

=

2+ 2

2 +y0

，得y₀=1，得λ=

2

．若直線l與y軸不重合，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得x1+x2=-

16k

1+4k2

①，x1x2=

8

1+4k2

．由此可知λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（1分）
因?yàn)樗�的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，

2

），所以b²=2，
由離心率等于

3

2

，得

a2-b2 a2

=

3

2

，
解得a²=8，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

2

=1（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直線l與y軸重合，
則

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=

2- 2

2 -y0

=

2+ 2

2 +y0

，得y₀=1，得λ=

2

（1分）
若直線l與y軸不重合，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得x1+x2=-

16k

1+4k2

①，x1x2=

8

1+4k2

②，（2分）
由

| PM |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

得

0-x1

x1-x0

=

0-x2

x0-x2

，整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），
將①②代入得x0=-

1

k

，又點(diǎn)N（x₀，y₀）在直線l上，
所以y0=k×(-

1

k

)+2=1，（2分）
于是有1＜y1＜

2

，因此λ=

2-y1

y1-1

=

1-y1+1

y1-1

=

1

y1-1

-1，
由1＜y1＜

2

得

1

y1-1

＞

2

+1，
所以λ＞

2

，綜上所述，有λ≥

2

（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．