Question

如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而把點(diǎn)M代入橢圓方程求得a和b的另一個(gè)關(guān)系式，然后聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）依題意可表示出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得m的取值范圍．
（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，問題轉(zhuǎn)化為證明k₁+k₂=0．設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出兩斜率，根據(jù)（2）中的方程式，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而代入到k₁+k₂，化簡(jiǎn)整理求得結(jié)果為0，原式得證．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=8 b2=2

∴橢圓方程

x2

8

+

y2

2

=1
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又KOM=

1

2

∴l(xiāng)的方程為：y=

1

2

x+m
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，∴x²+2mx+2m²-4=0
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}
（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
而k1+k2=

y1-1

x1-2

，+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等．綜合考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系以及轉(zhuǎn)化和化歸的思想的運(yùn)用．