Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，該數(shù)列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列{b_n}的前三項．
（Ⅰ）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n，b_n；
（Ⅱ）設，若恒成立，求c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設d、q分別為數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的公差與公比，a₁=1．由題可知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數(shù)列{b_n}的前三項，從而可得（2+d）²=2（4+2d），根據(jù)a_n+1＞a_n，可確定公差的值，從而可求數(shù)列{a_n}的通項，進而可得公比q，故可求{b_n}的通項公式
（Ⅱ）表示出，利用錯位相減法求和，進而問題可轉(zhuǎn)化為恒成立，利用在N^*是單調(diào)遞增的，即可求得c的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設d、q分別為數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的公差與公比，a₁=1．
由題可知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數(shù)列{b_n}的前三項，
∴（2+d）²=2（4+2d）⇒d=±2．
∵a_n+1＞a_n，
∴d＞0．
∴d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．
由此可得b₁=2，b₂=4，q=2，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ），①
∴．②
①-②，得．
∴．
∴．
∵在N^*是單調(diào)遞增的，
∴．
∴
∴滿足條件恒成立的最小整數(shù)值為c=3．
點評：本題以等差數(shù)列與等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列通項公式的求解，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查錯位相減法求數(shù)列的和，綜合性強