Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；　
（2）若f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：（n＞1，n∈N^*）

Answer 1

（1）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，
當(dāng)k≤0時(shí)，＞0，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），
當(dāng)k＞0時(shí)，由＞0，得：，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為，
由＜0，得：x＞，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為；
（2）由f（x）≤0，即ln（x-1）-k（x-1）+1＜0得，，
令，則，
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，y′＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，y′＜0，函數(shù)遞減．∴當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得最大值為1，∴k≥1；
（3）由（1）可知若k=1，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)有f（x）＜0，∴l(xiāng)n（x-1）-（x-1）+1＜0，
即ln（x-1）＜x-2，即有l(wèi)nx＜x-1（x＞1），
令x=n，則lnn＜n-1，
∴l(xiāng)n2+ln3+…+lnn＜（2-1）+（3-1）+…+（n-1）=（2+3+…+n）-（n-1）
==（n＞1，n∈N^*）．
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分k≤0和k＞0討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）≤0，變形后把變量k分離出來(lái)，得到，然后利用導(dǎo)函數(shù)求不等式右邊的最大值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍可求；
（3）由（1）可知，若k=1，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)有f（x）＜0，由此得到lnx＜x-1（x＞1），依次取x的值為2，3，…，n，累加后利用分組求和可證不等式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分離變量法，（3）中不等式的證明是該題的難點(diǎn)所在，考查了學(xué)生靈活處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，此題是有一定難度題目．