設(shè)點A（3，
5
2
），B（4，
3
），C（-3，-
5
2
），D（5，0），其中三點在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1，（a＞0，b＞0）上，另一點在直線l上．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)直線l的斜率存在且為k，它與雙曲線的同一支分別交于兩點E、F，M、N分別為雙曲線的左、右頂點，求滿足條件
EN
•
FM
+
EM
•
FN
=32的k值．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意，A，B，C在雙曲線上，代入雙曲線方程，可求雙曲線方程；
（2）直線y=k（x-5）代入雙曲線方程，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，利用條件，即可求出k的值．
解答： 解：（1）由題意，A，B，C在雙曲線上，代入雙曲線方程，
可得
9
a2
-
5
4b2
=1
16
a2
-
3
b2
=1
，∴a=2，b=1，
∴雙曲線方程為
x2
4
-y2=1；
（2）由題意，M（-2，0）、N（2，0），且直線l與雙曲線的右支分別交于兩點E、F，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），且y1＜0，y2＞0．
直線y=k（x-5）代入雙曲線方程可得（1-4k2）x2+40k2x-100k2-4=0，則k2＞
1
4

x1+x2=-
40k2
1-4k2
，x1x2=-
100k2+4
1-4k2
，y1y2=k2（x1-5）（x2-5），
EN
•
FM
+
EM
•
FN
=-（2-x1）（2+x2）+y1y2-（2+x1）（2-x2）+y1y2=-8+2x1x2+2y1y2=-8-
158k2+8
1-4k2
，
令-8-
158k2+8
1-4k2
=32，可得k=±2
6
，滿足題意．
點評：本題考查雙曲線方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在1萬km2的海域中有40km2的大陸架貯藏著石油，假如在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是（　　）
A、
1
251
B、
1
249
C、
1
250
D、
1
252

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中，O（0，0），A（1，
1
2
），B（0，1），Q（2，3），動點P（x，y）滿足不等式0≤
OP
•
OA
≤1，0≤
OP
•
OB
≤1，則Z=
OP
•
OQ
的最大值為（　　）
A、4B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-4|+2（n∈N*）．
（1）若a1=1，求Sn=a1+a2+a3+…+an；
（2）試探求a1的值，使得數(shù)列{an}（n∈N*）成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，DF∥CE，DF⊥DC，且DF=2AD=2CE，AF=
3
AD．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求證：AF⊥平面ABCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx．
（1）當b=a-1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=0時，若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點．求b的取值范圍；
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為函數(shù)f（x）的圖象上的兩點，記k為直線AB的斜率，x0=
x1+x2
2
．求證f′（x0）＜k．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圓的直徑AB上有兩點C，D，且|AB|=10，|AC|=|BD|=4，P為圓上一點，求|PC|+|PD|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2x，O為坐標原點，經(jīng)過點M（2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，P為拋物線C上一點．
（Ⅰ）若直線l垂直于x軸，求|
1
kPA
-
1
kPB
|的值；
（Ⅱ）求三角形OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
1
x
的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性．

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