Question

【題目】記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)根據(jù)公式，代入進(jìn)行計(jì)算并加以轉(zhuǎn)化可得，方法一：利用累乘法，可得，即可求出結(jié)果；方法二：由，可得，所以數(shù)列 是一個(gè)常數(shù)列，進(jìn)而可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后將通項(xiàng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式寫出的表達(dá)式，同時(shí)可得與的表達(dá)式，然后運(yùn)用作差法代入計(jì)算可證明不等式成立．

解：(1)(法一)

∵，即，

∴，

∴.

∴，即，

∴

又也滿足上式，

∴.

(法二)∵，即，

∴

∴

∴，即，

∴，

∴是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，

∴.

(2)由(1)知，

.

∴，即.