如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直線B1C與平面ABC成30°角，求二面角B－B1C－A的正弦值．

答案：
解析：

　　解：由直三棱柱性質得平面ABC⊥平面BCC1B1，過A作AN⊥平面BCC1B1，垂足為N，則AN⊥平面BCC1B1(AN即為我們要找的垂線)，在平面BCB1內過N作NQ⊥棱B1C，垂足為Q，連接QA，則∠NQA即為二面角的平面角．

　　∵AB1在平面ABC內的射影為AB，CA⊥AB，

　　∴CA⊥B1A．AB＝BB1＝1，得AB1＝．

　　∵直線B1C與平面ABC成30°角，∴∠B1CB＝30°，B1C＝2．

　　在Rt△B1AC中，由勾股定理，得AC＝．∴AQ＝1．

　　在Rt△BAC中，AB＝1，AC＝，得AN＝．

　　sin∠AQN＝＝，

　　即二面角BB1CA的正弦值為．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=
2
，側棱AA1=1，側面AA1B1B的兩條對角線交于點D，B1C1的中點為M，求證：CD⊥平面BDM．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點．
（1）求直線BE與A1C所成的角；
（2）在線段AA1中上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出|
AF
|；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分別為AC，B1C1的中點．
（Ⅰ）求線段MN的長；
（Ⅱ）求證：MN∥平面ABB1A1；
（Ⅲ）線段CC1上是否存在點Q，使A1B⊥平面MNQ？說明理由．

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精英家教網如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D棱B1B的中點．
（Ⅰ）證明：A1C1∥平面ACD；
（Ⅱ）求異面直線AC與A1D所成角的大小；
（Ⅲ）證明：直線A1D⊥平面ADC．

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