Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當0＜a＜4時，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當a=0時，對于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為，令f'（x）=0，得x=a或2，由此能判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）法一：依題意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），由x∈（1，t]，知，設(shè)，而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，由此能求出t的最大值．
法二：由，其幾何意義是動點P（x，f（x）），與定點A（1，0）連線的斜率，當x=t時，取到最小值，由此能求出t的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因為，
令f'（x）=0，
∴x=a或2，
∴當0＜a＜2時，f（x）在（-∞，a）單調(diào)增，在（a，2）上單調(diào)減，在（2，+∞）上單調(diào)增；
當a=2時，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)增；
當2＜a＜4時，f（x）在（-∞，2）單調(diào)增，
在（2，a）上單調(diào)減，在（a，+∞）上單調(diào)增；
（Ⅱ）（方法一）依題意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），
∵x∈（1，t]，∴，
設(shè)，
而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，
因為，
令g'（x）=0，∴
故上單調(diào)減，上單調(diào)增，
∴，即t的最大值為．
（方法二）由，其幾何意義是動點P（x，f（x）），
與定點A（1，0）連線的斜率．
當x=t時，取到最小值，
設(shè)t的最大值為t₁，則，
即，
∴，∴，
又t₁＞1，∴，
即t的最大值為．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與滿足條件的實數(shù)t的最大值的求法，綜合性強，難度較大，具有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．