Question

已知函數(shù)．
（I）當(dāng)0＜a＜1且，f′（1）=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）已知且對|x|≥2的實數(shù)x都有f'（x）≥0．若函數(shù)y=f′（x）有零點，求函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f′（x）的圖象在x∈（-3，2）內(nèi)的交點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+x²+（b-3）x可求得f′（x）=（x＞-3），由f′（x）＞0可求其遞增區(qū)間，由f′（x）＜0可求其遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤⇒a≤-3b-8，|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，從而可判斷y=f′（x）的零點在[-2，2]內(nèi)，設(shè)g（x）=x²+bx+a，由
可求得b=-4，a=4，于是得f（x）=25ln（x+3）+x²-7x，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=f（x）-f′（x），利用導(dǎo)數(shù)法可求得φ（x）與x軸有唯一交點，繼而求得a的值．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（-3，+∞），…1′
f′（x）=（x＞-3），由f′（1）=0⇒b=-a-1，
故f′（x）=…3′
∵0＜a＜1，
∴由f′（x）＞0得-3＜x＜a或x＞1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-3，a），（1，+∞），
同理由f′（x）＜0得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1），…5′
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤⇒a≤-3b-8①
又由|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，
∴y=f′（x）的零點在[-2，2]內(nèi)，設(shè)g（x）=x²+bx+a，
則⇒，結(jié)合①解得b=-4，a=4，
∴f（x）=25ln（x+3）+x²-7x…9′
又設(shè)φ（x）=f（x）-f′（x），
∵φ′（x）=+-1，由-3＜x＜2得0＜（x+3）²＜25，
故φ′（x）＞0，φ（x）在（-3，2）上單調(diào)遞增，又φ（-2）=0，故φ（x）與x軸有唯一交點，
∴函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f′（x）的圖象在x∈（-3，2）內(nèi)的交點坐標(biāo)為（-2，16）…12′
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的導(dǎo)數(shù)法分析得到，y=f′（x）的零點在[-2，2]內(nèi)是關(guān)鍵，突出構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)與方程的思想的考查，屬于難題．