Question

【題目】設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上，從原點(diǎn)向A(2,4)移動(dòng)，如果直線OP，曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1、S2.

(1)當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)S1＋S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．

Answer 1

【答案】（1），（2），

【解析】

試題（1）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S1為直線OP與曲線y=x2

當(dāng)x∈（0，t）時(shí)所圍面積，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2為直線OP與曲線y=x2當(dāng)x∈（t，2）時(shí)所圍面積，所以，

S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根據(jù)S1=S2就可求出t值．

（Ⅱ）由（2）可求當(dāng)S1+S2，化簡(jiǎn)后，為t的三次函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值，以及相應(yīng)的x值，就可求出P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，S1+S2有最小值．

試題解析：

（1）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜2），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t2），

直線OP的方程為y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，

因?yàn)?/span>S1=S2，，所以t=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2）S=S1+S2==

S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=

因?yàn)?/span>0＜t＜時(shí)，S'＜0；＜t＜2時(shí)，S'＞0

所以，當(dāng)t=時(shí)，Smin=，P點(diǎn)的坐標(biāo)為．