Question

下列命題中假命題 是（　�。�

• A、離心率為

  2

  的雙曲線的兩條漸近線互相垂直
• B、過(guò)點(diǎn)（1，1）且與直線x-2y+

  3

  =0垂直的直線方程是2x+y-3=0
• C、拋物線y²=2x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1
• D、

  x2

  32

  +

  y2

  52

  =1的兩條準(zhǔn)線之間的距離為

  25

  4

Answer 1

分析：A設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則可表示出其漸近線的方程，根據(jù)離心率為

2

，推斷出其斜率之積為-1進(jìn)而求得a兩條漸近線互相垂直．
B設(shè)與直線x-2y+

3

=0垂直的直線的方程，把點(diǎn)（1，1）的坐標(biāo)代入求出c值，即得所求的直線的方程．
C根據(jù)拋物線的方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．
D先據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出a²、b²，計(jì)算c²，兩準(zhǔn)線間的距離為

2a2

c

解答：解：對(duì)于A：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x
根據(jù)離心率為

2

，推斷出其斜率之積為-1進(jìn)而兩條漸近線互相垂直，故正確；
B：設(shè)所求的直線方程為2x+y+c=0，把點(diǎn)（1，1）的坐標(biāo)代入得 2+1+c=0，
∴c=-3，
故所求的直線的方程為2x+y-3=0，故正確；
C：根據(jù)題意可知焦點(diǎn)F（

1

2

，0），準(zhǔn)線方程x=-

1

2

，
∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，故正確．
D：a=3，b=5，∴c²=41，

2a2

c

=

6

41

，∴兩準(zhǔn)線間的距離為

2a2

c

=

6

41

故錯(cuò)．
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．