Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（2，0）是長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且

AC

•

BC

=0，|

OC

-

OB

|=2|

BC

-

BA

|．
（1）求橢圓的方程；
（2）對于橢圓上的兩點P、Q，∠PCQ的平分線總是垂直于x軸時，是否存在實數(shù)λ，使得

PQ

=λ

AB

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出△AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由點C在橢圓上，得

1

a2

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）對于橢圓上兩點P，Q，由∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，知PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對稱，k_PC=k，則k_CQ=-k，PC的直線方程為y=k（x-1）+1，QC的直線方程為y=-k（x-1）+1，由此求出PQ∥AB，從而得到存在實數(shù)λ，使得

PQ

=λ

AB

．

解答： 解：（1）∵

AC

•

BC

=0，
∴

AC

⊥

BC

，∴∠ACB=90°，
又|

OC

-

OB

|=2|

BC

-

BA

|，即|

BC

|=2|

AC

|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵A（2，0），∴C（1，1），
∵點C在橢圓上，∴

1

a2

+

1

b2

=1，
∵a=2，∴b²=

4

3

，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．
（2）對于橢圓上兩點P，Q，
∵∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，
∴PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對稱，
k_PC=k，則k_CQ=-k，
∵C（1，1），∴PC的直線方程為y=k（x-1）+1，①
QC的直線方程為y=-k（x-1）+1，②
將①代入

x2

4

+

3y2

4

=1，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，③
∵C（1，1）在橢圓上，∴x=1是方程③的一個根，
∴xP•1=

3k2-6k-1

1+3k2

=1，
同理將②（1+3k²）x²-6k（k+1）x+3k²+6k-1=0，④
∵C（1，1）在橢圓上，∴x=1是方程④的一個根，
∴xQ•1=

3k2+6k-1

3k2+1

，
kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k• 6k2-2 1+3k2 -2k

-12k 1+3k2

=

1

3

，
∵∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC過橢圓的中心O，
∴A（2，0），B（-1，-1），∴k_AB=

0+1

2+1

=

1

3

，
∴k_PQ=k_AB，∴PQ∥AB，
∴存在實數(shù)λ，使得

PQ

=λ

AB

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．