Question

已知命題P：方程x²+x+m=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根；命題Q：方程4x²+4（m-2）x+1=0無實(shí)數(shù)根，若P或Q為真，P且Q為假，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先，求解命題P和命題Q都是真命題時(shí)，相應(yīng)的m的取值范圍，然后，根據(jù)P或Q為真，P且Q為假，則兩個(gè)命題一真一假，分兩種情形進(jìn)行討論，最后求解范圍即可．

解答： 解：對(duì)于命題P：
∵方程x²+x+m=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
∴

△=1-4m＞0 m＜0

，
∴m＜0，
對(duì)于命題Q：
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0無實(shí)數(shù)根，
∴△=[4（m-2）]2-4×4×1＜0，
∴1＜m＜3，
∵P或Q為真，P且Q為假，
∴命題P和命題Q必一真一假，
①當(dāng)P真Q假時(shí)：
即：

m＜0 m≤1或m≥3

，
∴m＜0，
②當(dāng)P假Q(mào)真時(shí)：
即：

m≥0 1＜m＜3

，
∴1＜m＜3，
綜上，實(shí)數(shù)m的范圍（-∞，0）∪（1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了復(fù)合命題的真假判斷，同時(shí)側(cè)面考查了一元二次方程的根的分布等知識(shí)，考查比較綜合，屬于中檔題．