Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，橢圓上的點到焦點的最小距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），OH⊥AB于H點．試求點H的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求橢圓方程，只需求出a，b的值，由橢圓的離心率為

1

2

，知，

c

a

=

1

2

，由橢圓上的點到焦點的最小距離為1，可知，a-c=1，再根據(jù)a²=b²+c²，就可求出a，b得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）設出A，B點的坐標，直線l方程，再令直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根據(jù)且OA⊥OB（O為坐標原點），OH⊥AB于H點．用x₁，x₂表示H點坐標，把參數(shù)消掉，即可得到點H的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：e=

c

a

=

1

2

，a-c=1，a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x軸，可設H（x₀，0），因OA⊥OB，則A（x₀，±x₀）．由

x02

4

+

x02

3

=1，得

x

2 0

=

12

7

，即H(±

12 7

，0)．
若l⊥y軸，可設H（0，y₀），同理可得H(0，±

12 7

)．
（2）當直線l的斜率存在且不為0時，設l：y=kx+m，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
則x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

．由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=0．故 

4m2-12

3+4k2

+

3m2-12k2

3+4k2

=0，即7m²=12（k²+1）（記為①）．
由OH⊥AB，可知直線OH的方程為y=-

1

k

x．聯(lián)立方程組

y=kx+m y=- 1 k x

，得 

k=- x y m= x2 y +y

（記為②）．將②代入①，化簡得x2+y2=

12

7

．綜合（1）、（2），可知點H的軌跡方程為x2+y2=

12

7

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及消參法求軌跡方程，做題時應認真分析．