Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點(1，

3

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k₁，k₂滿足k₁+k₂=m（定值m≠0），求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點(1，

3

2

)，可求幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及k₁+k₂=m（定值m≠0），即可求直線l的斜率．

解答：解：（1）∵橢圓離心率為

1

2

，
∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c（2分）
又橢圓經(jīng)過點(1，

3

2

)，∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1
解得c=1，∴a=2，b=

3

（3分）
∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）若直線l斜率不存在，顯然k₁+k₂=0不合題意    …（5分）
設(shè)直線方程為l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（7分）
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

…（8分）
∴k₁+k₂=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=k(

x1-1

x1+2

+

x2-1

x2+2

)=k[2-3(

1

x1+2

+

1

x2+2

)]
=k[2-

3(x1+x2+4)

x1x2+2(x1+x2)+4

]=k（2-3•

2k2+1

3k2

）=-

1

k

∵k₁+k₂=m，∴-

1

k

=m，
∴k=-

1

m

．

點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．