Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1﹣ ﹣lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（ ，f（ ））處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，記函數(shù)Γ（x）= ax2+（1﹣2a）x+ ﹣1+f（x），試求Γ（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)h（a）=3λa﹣2a2（其中λ為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，求h（a）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)， ， ，

則 ， ∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn) 的切線(xiàn)方程為： ，

即2x﹣y+ln2﹣2=0．

（2）解：∵ ，∴ （x＞0）， ，

①當(dāng)a=0時(shí)， ，

由 及x＞0可得：0＜x≤1，∴Γ（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]

②當(dāng)a＞0時(shí)， ，

由ax2﹣（2a﹣1）x﹣1=0可得：△=（2a﹣1）2+4a=4a2+1＞0，

設(shè)其兩根為x1，x2，因?yàn)? ，所以x1，x2一正一負(fù)，

設(shè)其正根為x2，則 ，

由 及x＞0可得： ，∴Γ（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．

（3）解： ，由f'（x）=0x=a，

由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，所以a≤0或a≥2…（10分）對(duì)于h（a）=3λa﹣2a2，對(duì)稱(chēng)軸 ，

當(dāng) 或 ，即λ≤0或 時(shí)， ；

當(dāng) ，即 時(shí)，h（a）max=h（0）=0；

當(dāng) ，即 時(shí)，h（a）max=h（2）=6λ﹣8；

綜上可知：

【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出斜率以及切點(diǎn)坐標(biāo)，求解切線(xiàn)方程．（2）化簡(jiǎn)函數(shù)Γ（x）= ﹣1+f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，分別通過(guò)函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．求出單調(diào)區(qū)間．（3）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點(diǎn)，利用題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，求出a的范圍然后求解h（a）max值即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．