Question

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（如圖）．
（1）過M點(diǎn)的直線l₁交圓于P、Q兩點(diǎn)，且圓孤PQ恰為圓周的

1

4

，求直線l₁的方程；
（2）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個公共點(diǎn)的橢圓方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由圓孤PQ為圓周的

1

4

可求得O點(diǎn)到直線l₁的距離為

2

2

，從而設(shè)l₁的方程為y=k（x+2），由點(diǎn)到直線的距離公式求直線方程即可；
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，從而可得

a2

c

=2，由橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點(diǎn)可得b=1，從而求橢圓方程．

解答： 解：（1）∵圓孤PQ為圓周的

1

4

，
∴∠POQ=

π

2

，
∴O點(diǎn)到直線l₁的距離為

2

2

．
設(shè)l₁的方程為y=k（x+2），
∴

|2k|

k2+1

=

2

2

，
∴k2=

1

7

，
∴l(xiāng)₁的方程為y=±

7

7

(x+2)；
（2）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
半焦距為c，則

a2

c

=2，
∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點(diǎn)，則b=1．
∴b²+c²=2c，∴c=1，
∴a²=b²+c²=2．
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．