Question

已知等差數(shù)列{x_n}，S_n是{x_n}的前n和，且x₃=5，S₅+x₅=34
（1）求{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）判別方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，說(shuō)明理由．
（3）設(shè)a_n=（

1

3

）ⁿ，T_n是{a_n}前n項(xiàng)和，是否存在正數(shù)λ，對(duì)任意正整數(shù)n，k，使T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程，即可得到首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)整理，得到sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，對(duì)n討論，①n=1時(shí)，②n=2時(shí)，③n≥3時(shí)，解方程，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域，即可判斷；
（3）方法一、通過(guò)等比數(shù)列的求和公式，運(yùn)用恒成立思想，求出不等式左邊的最大值，即可得到；
方法二、運(yùn)用參數(shù)分離，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列的單調(diào)性，即可得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，
所以

x1+2d=5 6x1+14d=34

解得

x1=1 d=2

，
即有x_n=2n-1；
（2）由于sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n，由于x_n=2n-1，
S_n=

1

2

(1+2n-1)n=n²，
則方程為：sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，
①n=1時(shí)，sin²1+cos1=0無(wú)解；
②n=2時(shí)，sin²3+3cos3+1=4所以cos²3-3cos3+2=0
所以cos3=1，cos3=2，無(wú)解；
③n≥3時(shí)，sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+（2n-1）+1=2n+1＜n²，
所以sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，無(wú)解．
綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)原方程都無(wú)解；                        
（3）解法一：a_n=（

1

3

）ⁿ，則T_n=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]，
又T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立，T_n＞0，λ＞0，
所以當(dāng)T_n取最大值，x_k²取最小值時(shí)，T_n-λx

2 k

取到最大值．
又T_n＜

1

2

，x_k²=（2k-1）²≥1，所以

1

2

-λ≤λ²
即λ2+λ-

1

2

≥0  故λ≥

3 -1

2

；                                   
解法二：由T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立，則

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]-λ（2k-1）²＜λ²恒成立．
即λ²+λ（2k-1）²＞

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]_max，λ²+λ（2k-1）²≥

1

2

，又λ＞0，
所以（2k-1）²≥

1 2 -λ2

λ

，[（2k-1）]_max≥

1 2 -λ2

λ

，
所以1≥

1 2 -λ2

λ

，
即λ²+λ-

1

2

≥0  故λ≥

3 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查三角函數(shù)值的求解，考查參數(shù)分離和不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，和判斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．