Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面,且,.四邊形滿足,,.為側(cè)棱的中點(diǎn)，為側(cè)棱上的任意一點(diǎn).

（1）若為的中點(diǎn)，求證: 面平面；

（2）是否存在點(diǎn),使得直線與平面垂直? 若存在，寫(xiě)出證明過(guò)程并求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面,從而得，再結(jié)合，可得平面，又利用三角形中位線定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）過(guò)點(diǎn)作,垂足為，先證明平面,結(jié)合平面,得，從而可得平面，利用三角形面積相等即可得線段的長(zhǎng).

試題解析：（1）∵分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，∴.

∵,∴.

∵面平面,且,面平面,

∴平面,結(jié)合平面,得.

又∵, ,∴平面,可得平面.

∴ 結(jié)合平面，得平面 平面.

（2）存在點(diǎn)，使得直線與平面垂直.

平面中，過(guò)點(diǎn)作,垂足為

∵由己知,,,.

∴根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得.

又∵由（1）平面,得 ,且,

∴平面,結(jié)合平面,得.

又∵,∴平面.

在中，, ，,

∴，.

∴上存在點(diǎn)，使得直線與平面垂直，此時(shí)線段長(zhǎng)為.