Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面為正方形，O₁，O分別為上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O．
（Ⅰ）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若點E，F(xiàn)分別在棱上AA₁，BC上，且AE=2EA₁，問點F在何處時，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的大小（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連AC，BD，A₁C₁，則O為AC，BD的交點，易知四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，則A₁O||O₁C，而A₁O⊥平面ABCD則O₁C⊥平面ABCD，又O₁C?平面O₁DC，滿足面面垂直的判定定理可得結論；
（Ⅱ）作EH⊥平面ABCD，垂足為H，則EH||A₁O，點H在直線AC上，且EF在平面ABCD上的射影為HF．由三垂線定理及其逆定理，知EF⊥AD則CF=2BF，從而可知當F為BC的三等分點（靠近B）時，有EF⊥AD；
（III）過點O作OM⊥AA₁，垂足為M，連接BM，由三垂線定理得AA₁⊥MB∴∠OMB為二面角C-AA₁-B的平面角，在三角形OMB中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）連AC，BD，A₁C₁，則O為AC，BD的交點，
O₁為A₁C₁，B₁D₁的交點．
由平行六面體的性質知：A₁O₁||OC且A₁O₁=OC
∴四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，A₁O||O₁C
又∵A₁O⊥平面ABCD∴O₁C⊥平面ABCD
又∵O₁C?平面O₁DC∴平面O₁DC⊥平面ABCD
（Ⅱ）作EH⊥平面ABCD，垂足為H，則EH||A₁O，點H在直線AC上，
且EF在平面ABCD上的射影為HF．
由三垂線定理及其逆定理，知EF⊥AD?FH||AB∵AE=2EA₁，∴AH=2HO，從而CH=2AH．又∵HF||AB，∴CF=2BF
從而EF⊥AD?CF=2BF∴當F為BC的三等分點（靠近B）時，有EF⊥AD
（III）過點O作OM⊥AA₁，垂足為M，連接BM．∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A₁AO．由三垂線定理得AA₁⊥MB∴∠OMB為二面角C-AA₁-B的平面角．
在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴MB=

3

2

AB
又∵BO=

2

2

AB，∴sin∠OMB=

6

3

∴∠OMB=arcsin

6

3

二面角C-AA₁-B的大小為arcsin

6

3

點評：本題主要考查了面面垂直的判定和二面角的度量，求解二面角的關鍵是尋找二面角的平面角，同時考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．