Question

如圖，已知平行六面體ABC-A₁B₁C₁的底面為正方形，O₁，O分別為上、下底面中心，且A₁在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA₁、BC上，且AE=2EA₁，問(wèn)F在何處時(shí)，EF⊥AD？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，只需證明CO₁⊥平面ABCD，因?yàn)锳₁在底面ABCD上的射影為O，從而可證明在平行四邊形ACC₁A₁中，CO₁∥A₁O．
（2）過(guò)E作AC垂線，垂足為G，易證EG⊥平面AC，要EF⊥AD，即EF⊥BC，則需證明GF⊥BC，而FG∥AB，由比例關(guān)系可求得F點(diǎn)位置．

解答：解．（1）∵平行六面體底面為正方形，∴A₁A∥CC₁，∴A₁C₁∥AC，
又O₁，O分別為上下底面中心，∴A₁O₁∥CO，A₁O₁=CO，
∴四邊形A₁O₁CO為平行四邊形，∴CO₁∥A₁O．
A₁在底面ABCD射影為O，∴A₁O⊥平面AC，所以CO₁⊥平面AC，
又CO₁?平面O₁DC，∴平面O₁DC⊥平面ABCD．
（2）過(guò)E作AC垂線，垂足為G，則EG∥A₁O，∴EG⊥平面AC，
若要EF⊥AD，即EF⊥BC，則需GF⊥BC，
∵底面ABCD為正方形，∴FG∥AB，
由A₁E=

1

2

AE，則OG=

1

2

AG，∴

GF

AB

=

CF

CB

=

CG

CA

=

4

6

=

2

3

，
∴F為BC的三等分點(diǎn)，靠近B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直、線面垂直的判定，屬基礎(chǔ)題，相關(guān)判定定理是解決有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)．