Question

設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P（0）到這個橢圓上的點最遠距離是．求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)條件取橢圓的參數(shù)方程，其中0≤θ＜2π，根據(jù)已知條件和橢圓的性質(zhì)能夠推出b=1，a=2．從而求出這個橢圓的方程和橢圓上到點P的距離等于的點的坐標．
解答：解：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中0≤θ＜2π，
由可得，即a=2b．
設(shè)橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則

=
=
=
=．
如果，即，則當sinθ=-1時，d²有最大值，由題設(shè)得，
由此得，與矛盾．
因此必有成立，于是當時，d²有最大值，由題設(shè)得，
由此可得b=1，a=2．
所求橢圓的參數(shù)方程是，由可得，
橢圓上的點和到點P的距離都是．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意參數(shù)方程的合理運用．