Question

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=，已知點P(0,)到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標.

Answer 1

思路分析：本題充分把解析幾何問題與代數(shù)知識緊密結(jié)合,在解決該題的過程中無論哪種辦法都不可避免地要用到代數(shù)相關知識,這也體現(xiàn)了數(shù)學學科的特點.該題也可從兩個方面去考慮,利用橢圓參數(shù)方程與利用普通方程來考慮把問題解決.對于學生靈活應用知識的能力也是一個考查,對于具體問題具體分析,從而解決問題.

解：由題設,設橢圓的參數(shù)方程為(a＞b＞0),∵e=,

∴a=2b.設橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d,

則d²=x²+(y-)²=a²cos²θ+(bsinθ-)²=-3b²(sinθ+)²+4b²+3,

如果＞1,b＜,則當sinθ=-1時,d²有最大值,由題設有()²=(b+)²,b=-＞,與b＜相矛盾.因此必有≤1,于是當sinθ=時,d²有最大值,

由題設有()²=4b²+3,b=1,a=2,所以所求橢圓的參數(shù)方程是

消去參數(shù)θ得+y²=1.由sinθ=-,cosθ=得橢圓上的點(,-),(,-)到點P的距離都是.