Question

某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2008年北京奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足關(guān)系式：x=3-

2

t+1

．已知2008年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需要投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若化妝品的年銷售收入額為其年生產(chǎn)成本的150%與年促銷費(fèi)的一半之和．問：該企業(yè)2008年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）最大？（利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

Answer 1

分析：根據(jù)年生產(chǎn)成本=年生產(chǎn)費(fèi)用+年固定費(fèi)用，年利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，可得年利潤(rùn)的函數(shù)，利用基本不等式可求函數(shù)的最值．

解答：解：當(dāng)年生產(chǎn)x（萬(wàn)件）時(shí)，年生產(chǎn)成本=年生產(chǎn)費(fèi)用+年固定費(fèi)用=32x+3=32（3-

2

t+1

）+3，
年銷售收入=150%[32（3-

2

t+1

）+3]+

t

2

．
∵年利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，
∴y=150%[32（3-）+3]+-[32（3-）+3]-t=

1

2

[32（3-

2

t+1

）+3]-

t

2

=50-

1

2

[

64

t+1

+（t+1）]≤50-

1

2

•2

64 t+1 •(t+1)

=42（萬(wàn)元），
當(dāng)且僅當(dāng)

64

t+1

=t+1，即t=7時(shí)y_max=42．
∴當(dāng)促銷費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．