【題目】設(shè),.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);
(Ⅲ)如果對任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(本小題14分)
(1)當(dāng)時(shí),,,,,
所以曲線在處的切線方程為; (4分)
(2)存在,使得成立
等價(jià)于:,
考察,,
遞減 | 極(最)小值 | 遞增 |
由上表可知:,
,
所以滿足條件的最大整數(shù); (8分)
(3)對任意的,都有成立
等價(jià)于:在區(qū)間上,函數(shù)的最小值不小于的最大值,
由(2)知,在區(qū)間上,的最大值為。
,下證當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,函數(shù)恒成立。
當(dāng)且時(shí),,
記,,。
當(dāng),;當(dāng),
,
所以函數(shù)在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,
,即, 所以當(dāng)且時(shí),成立,
即對任意,都有。 (14分)
(3)另解:當(dāng)時(shí),恒成立
等價(jià)于恒成立,
記,,。
記,,由于,
, 所以在上遞減,
當(dāng)時(shí),,時(shí),,
即函數(shù)在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,
所以,所以。 (14分)
【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用,求解函數(shù)在給定點(diǎn)處的切線方程,以及不等式的恒成立問題的綜合運(yùn)用。
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求解切線的斜率,和切點(diǎn)坐標(biāo),表示出切線方程。
(2)要是不等式恒成立,構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而得到參數(shù)m的最值。
(3)對任意的s,t屬于[1/2,1],都有f(s)f(t)成立
等價(jià)于:在區(qū)間[1/2,1],上,函數(shù)f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,
結(jié)合第二問的結(jié)論得到。
解:(1)當(dāng)時(shí),,,,,
所以曲線在處的切線方程為;4分
(2)存在,使得成立,
等價(jià)于:,
考察,
遞減 | 極(最)小值 | 遞增 |
,
由上表可知:,
,
所以滿足條件的最大整數(shù);8分
3)當(dāng)時(shí),恒成立,等價(jià)于恒成立,
記,,。
記,,由于,
, 所以在上遞減,又h/(1)=0,
當(dāng)時(shí),,時(shí),,
即函數(shù)在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,
所以,所以。12分
(3)另解:對任意的,都有成立
等價(jià)于:在區(qū)間上,函數(shù)的最小值不小于的最大值,
由(2)知,在區(qū)間上,的最大值為。
,下證當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,函數(shù)恒成立。
當(dāng)且時(shí),,
記,,
當(dāng),;當(dāng),
,
所以函數(shù)在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,
,即,
所以當(dāng)且時(shí),成立,
即對任意,都有。
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