Question

已知f（x）=sin

kπ

4

，k∈Z．
（1）求證：f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（2011）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由于f（x）的最小正周期為

2π

π 4

=8，可得f（1）=f（9），f（2）=f（10），f（3）=f（11），…f（8）=f（16），從而證得要證的等式．
（2）根據(jù) f（1）+f（2）+…+f（8）=0，要求的式子為 251×[f（1）+f（2）+…+f（8）]+f（1）+f（2）+f（3），從而求得它的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=sin

kπ

4

，k∈Z的最小正周期為

2π

π 4

=8，∴f（1）=f（9），f（2）=f（10），f（3）=f（11），…f（8）=f（16），
∴f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）．
（2）∵f（1）+f（2）+…+f（8）=

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2011）=251×[f（1）+f（2）+…+f（8）]+f（1）+f（2）+f（3）=0+

2

2

+1+

2

2

=

2

+1．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．