【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(2x﹣1),g(x)=ax﹣a(a∈R).
(1)若y=g(x)為曲線y=f(x)的一條切線,求a的值;
(2)已知a<1,若存在唯一的整數(shù)x0 , 使得f(x0)<g(x0),求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1),
設切點為(m,n),由題意可得a=em(2m+1),
又n=am﹣a=em(2m﹣1),
解方程可得,a=1或4
(2)解:函數(shù)f(x)=ex(2x﹣1),g(x)=ax﹣a
由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)在直線y=ax﹣a的下方,
∵f′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1),
∴當x<﹣ 時,f′(x)<0,
當x>﹣ 時,f′(x)>0,
∴當x=﹣ 時,f(x)取最小值﹣2 ,
當x=0時,f(0)=﹣1,當x=1時,f(1)=e>0,
直線y=ax﹣a恒過定點(1,0)且斜率為a,
故﹣a>f(0)=﹣1且f(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,
解得 ≤a<1.
【解析】(1)求出導數(shù),設出切點(m,n),求得切線的斜率,由切線的方程,可得a=em(2m+1),又n=am﹣a=em(2m﹣1),解方程可得a的值;(2)函數(shù)f(x)=ex(2x﹣1),g(x)=kx﹣k,問題轉化為存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)在直線y=kx﹣k的下方,求導數(shù)可得函數(shù)的極值,數(shù)形結合可得﹣k>f(0)=﹣1且f(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣k﹣k,解關于k的不等式組可得.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A、B、C的對邊,且(2a+c)cosB+bcosC=0.
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若 ,求△ABC的面積.
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【題目】某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入,若該公司2015年全年投入研發(fā)資金超過130萬元,在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是年.(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30).
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【題目】已知f(x)=1+x﹣ + ﹣ +…+ ;g(x)=1﹣x+ ﹣ + ﹣…﹣ ;設函數(shù)F(x)=[f(x+3)]2015[g(x﹣4)]2016 , 且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內,則b﹣a的最小值為( )
A.8
B.9
C.10
D.11
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【題目】已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為1.
(1)求a的值;
(2)解不等式 ;
(3)求函數(shù)g(x)=|logax﹣1|的單調區(qū)間.
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【題目】設函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù),滿足f(x)=f(4﹣x),且對任意x1 , x2∈(0,+∞),都有(x1﹣x2)[f(x1+2)﹣f(x2+2)]>0,則滿足f(2﹣x)=f( )的所有x的和為( )
A.﹣3
B.﹣5
C.﹣8
D.8
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【題目】從某校高一年級1000名學生中隨機抽取100名測量身高,測量后發(fā)現(xiàn)被抽取的學生身高全部介于155厘米到195厘米之間,將測量結果分為八組:第一組[155,160),第二組[160,165),…,第八組[190,195),得到頻率分布直方圖如圖所示. (Ⅰ)計算第三組的樣本數(shù);并估計該校高一年級1000名學生中身高在170厘米以下的人數(shù);
(Ⅱ)估計被隨機抽取的這100名學生身高的中位數(shù)、平均數(shù).
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點,過點A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸交于點D,且有|FA|=|FD|,當點A的橫坐標為3時,△ADF為正三角形
(1)求C的方程
(2)延長AF交拋物線于點E,過點E作拋物線的切線l1 , 求證:l1∥l.
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【題目】已知函數(shù) ,且該函數(shù)的圖象過點(1,5). (Ⅰ)求f(x)的解析式,并判斷f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)判斷f(x)在區(qū)間(0,2)上的單調性,并用函數(shù)單調性的定義證明你的結論.
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