Question

已知命題p：方程x²+2x+a=0有兩個(gè)相異的實(shí)根；q：函數(shù)f（x）=2^x-ax-2有兩個(gè)零點(diǎn)，且p∨q為真，p∧q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：命題p：方程x²+2x+a=0有兩個(gè)相異的實(shí)根，可得△＞0，解得a；q：函數(shù)f（x）=2^x-ax-2有兩個(gè)零點(diǎn)，可得函數(shù)y=2^x與y=ax+2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，解得a＞0．由于p∨q為真，p∧q為假，可得命題p與q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：命題p：方程x²+2x+a=0有兩個(gè)相異的實(shí)根，∴△=4-4a＞0，解得a＜1；
q：函數(shù)f（x）=2^x-ax-2有兩個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)y=2^x與y=ax+2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴a＞0．
∵p∨q為真，p∧q為假，∴命題p與q必然一真一假．
∴當(dāng)p真q假時(shí)，

a＜1 a≥0

，解得0≤a＜1．
當(dāng)q真p假時(shí)，

a≥1 a＞0

，解得1≤a．
綜上可得：a的取值范圍是[0，1）∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定、一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．