Question

已知四邊形ABCD是矩形，AB=

2

，BC=

6

，將△ABC沿著對角線AC折起來得到△AB₁C，且頂點B₁在平面AB=CD上射影O恰落在邊AD上，如圖所示．
（1）求證：AB₁⊥平面B₁CD；
（2）求三棱錐B₁-ABC的體積V_B1-ABC．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用線面垂直的判定，AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C∴AB₁⊥平面B₁CD；（2）AB₁⊥平面B₁CD，AB₁即棱錐的高，后算出底面ABC的面積，代人棱錐體積公式計算．

解答： 解：（1）B₁O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴B₁O⊥CD，又CD⊥AD，AD∩B₁O=O
∴CD⊥平面AB₁D，又AB₁?平面AB₁D
∴AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C
∴AB₁⊥平面B₁CD；           …（6分）
（2）由于AB₁⊥平面B₁CD，B₁D?平面ABCD，∴AB₁⊥B₁D，
在Rt△AB₁D中，B₁D=

AD2-AB12

=2，
又由B₁O•AD=AB₁•B₁D 得B1O=

AB1•B1D

AD

=

2 3

3

，
∴V_B1-ABC=

1

3

S_△ABC•B₁O=

1

3

×

3

×

2 3

3

=

2

3

…12分

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是熟練掌握線面垂直，線面垂直及線線垂直的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關鍵是判斷出棱錐的高和底面面積．